1. Bu sayfadaki problemden aldım. İngilizcesinde sorun var, biraz uğraştırdı ama çözdüm, zaten Physics 101 mış! Bence hiç değil önemli bir konu.
2. Yörünge yarıçapı R olan bir hayali uydu düşünelim, hayali çünkü gezegenin yarıçapı da R. Yani "surface skimming" bir uydudan bahsediyoruz. Aslında, insanların yaşadığı yoğunluk düzlemini "dünya" olarak tanımlamak ortaçağlardan kalma bir "insan merkezci" bir düşünce tarzı olmalı ama bu ayrı bir konu.
3. Bu uydunun yörüngesinden dünyanın yoğunluğunu hesaplayacağız.
4. Problem şu: Eğer uydu gezegen yüzeyine çok yakın bir yörüngede dolaşıyorsa, gezegenin yoğunluğunun bu ilişki ile verildiğini gösterin.

\begin{equation} \rho = \frac{M}{V} = \frac{3\pi}{G\,T^2} \end{equation}

\(V = 4/3 \,\pi\, R^3\) olduğu için,

\begin{equation} \rho = \frac{M}{V} = \frac{3}{4\,\pi}\;\frac{M}{R^3} \end{equation}

M = Kütle

V = Birim Hacim

G = Yerçekimsel çekim gücü sabiti denen şey

T = Uydunun dönemi

5. Bu uydunun yörünge hızı \(v\),

\begin{equation} v = \frac{2\pi\,R}{T} \end{equation}

olacaktır. Ve hızın karesi,

\begin{equation} v^2 = \frac{4\pi^2\,R^2}{T^2} \end{equation}

6. Şimdi, yörünge hızı için bir ilişki daha yazıyor,

\begin{equation} v' = \sqrt{\frac{GM}{R}} \end{equation}

ve karesi,

\begin{equation} v'^2 = \frac{GM}{R} \end{equation}

7. (4) ve (6)'yı eşitleyelim, ve \(G\) ve \(R^2\) ile bölelim,

\begin{equation} \frac{4\pi^2\,R^2}{T^2} = \frac{GM}{R} \end{equation} \begin{equation} \frac{4\pi^2}{G\,T^2} = \frac{M}{R^3} \end{equation}

8. (8)'deki \(M/R^3\)'ün değerini, (2)'deki \(M/R^3\)'ün değeri ile değiştirelim,

\begin{align} \rho = \frac{M}{V} &= \frac{3}{4\pi} \times \frac{4\pi^2}{G\,T^2}\\ \\ &=\frac{3\pi}{G\,T^2} \end{align}

1. Bu da aradığımız sonuç olmuş oluyor. Dünya yüzeyine yakın yörünge dönemi \(T\) = 5100 saniye için test edelim,

\(G = 6.67 \times 10^{-11}\)

ve

\begin{equation*} \rho = \frac{3 \times \pi}{6.67 \times 10^{-11} \times (5100)^2} = 5433 \;\text{kg} / \text{m}^3 \end{equation*}

Kabul edilen dünya yoğunluğu = 5515 kg/\(\text{m}^3\)