• Yazının tamamı burada.

1. Poynting önce Michell'in bu deneyi nasıl yapmayı düşündüğünden bahsediyor, oraları geçiyorum.
2. Ağırlıkların, sarkacın koluna asılı topları çektiği varsayılıyor ve bu çekimin sonucunun ne olduğu açıklanıyor. Ağırlıklar önce topların bir tarafındalar, sonra kolun içinde bulunduğu kutunun diğer tarafına geçiriyorlar. Kol, ağırlıklar bu taraftayken, ağırlıkların çekimi sebebiyle A açısı kadar hareket ediyorlar, eğer o anda kolları geri çekersek, kolun, salınım merkezine gidip duracağı varsayılıyor herhalde, ve eğer ağırlıklar diğer tarafa götürülürse kolun 2A olarak hareket edeceği söyleniyor. Ben bu durumu anlayamadım. Ama Poynting, Cavendish'in yaptığı bir deneyden örnek veriyor, onu tercüme ederken anlarız diye düşünüyorum.
3. Şimdi tercüme ile devam edelim:
4. Büyük kürenin her biri kutunun diğer tarafına geçirilnce, kola asılı olan topu eşit bir güçle aksi yönden çekince; kol, eğer kollar uzaklaştırılınca oynayacağı açının 2 katı bir açı oynamış olur.
5. Öyleyse bu açının yarısı, sadece bir taraftaki çekimden sonuçlanan hareket açısını verecektir.
6. Kolun asılı olduğu telin, belli bir salınım açısı için burulma sabitini (torsion couple) ve kolun uzunluğunu biliyorsak, çekim gücü hesaplanabilir.
7. [Bu burulma sabitini bilmeye gerek var mı? Cavendish hesaplıyor mu? Zannetmiyorum, çünkü, ilk kullandığı telin çok yumuşak olduğunu görüyor, kol, toplar neredeyse kutuya çarpacak kadar büyük bir açıyla dönüyor; bunun üzerine Cavendish daha sert bir tel takıyor ve deneyi onunla yapıyor.]
8. Michell, kolun salınımından burulma sabitini bulmayı düşündü.
9. Eylemsizlik momentinden (moment of inertia) ve salınım döneminden burulma sabiti bulunabilir.
10. Cavendish'in uyguladığı bütün düzeltmeleri ihmal edersek, deneyin matematiksel analizi aşağıdaki gibi özetlenebilir:
11. Kola asılı topların her birinin kütlesi \(m\), çekim gücü uygulayan büyük topların her birinin kütlesi \(M\); kolun uzunluğu \(2a\) ve sarkacın asılı toplarla birlikte eylemsizlik momenti (moment of inertia) \(I\); çeken ve çekilen topların merkezleri arasındaki mesafe \(d\), ve kolun uygulanan çekim sonucu döndüğü açı \(\theta\) olsun.
12. Eğer \(\mu\), bir radian için burulma sabiti ise (if \(\mu\) is the torsion couple per radian twist) ve \(G\) yerçekimsel sabit ise, kolu \(\theta\) açısı çevirmek için gereken güçü veren ifadeyi bu şekilde yazabiliriz:

\begin{align*} \mu \cdot \theta = \frac{2 \cdot \text{G} \cdot M \cdot m \cdot a}{d^2} \end{align*}

13. [ Aslında bu denklem, bu kadar kalabalık ama, \(d\) ve \(\theta\) dışında bütün terimler sabit; \(G\)'nin tek görevi, kütle terimleri dahil olduğu için, birimleri uyumlu hale getirmek ondan sonra da elenip gitmek; yani bu denklem, bir orantı olarak yazıldığında,

\begin{align*} \theta :: \frac{1}{d^2} \end{align*}

14. kolun çekimden dolayı döndüğü açının mesafenin karesi ile azaldığını söylüyor. Gerçi bu bile doğru değil çünkü böyle olsaydı, bu mıknatıs hareketini tanımlamış olurdu yani yaklaştıkça güç geometrik olarak artardı, ama yerçekimi geometrik olarak artmıyor. Neyse bu ayrı bir konu. ]
15. Salınım dönemi:

\begin{align*} N = 2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{\text{I}}{\mu}} \end{align*}

16. [ Bu tanım da, dönemin, eylemsizlik momenti ile arttığını, yani kol ne kadar uzun olursa ve kola asılı ağırlıklar ne kadar ağır olursa, dönem o kadar artıyor ve salınım yavaşlıyor; burulma sabiti ile de azalıyor, yani, telin sertliği ile, tel ne kadar sert ise, kolun salınımı o kadar zorlaşıyor, yani,

\begin{align*} N :: \sqrt{\frac{\text{I}}{\mu}} \end{align*}

17. Burulma sabiti \(\mu\)'yu eleyelim:

\begin{align*} \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot \text{I} \cdot \theta}{N^2} = \frac{2 \cdot \text{G} \cdot M \cdot m \cdot a}{d^2} \end{align*}

18. [ Burulma sabiti \(\mu\) da gereksizmiş, o da elendi gitti. ]
19. Yerçekimi ivmesi \(g\)'yi, dünyanın boyutları ve yoğunluğu ile ifade edersek, içinde G olan bir denklem daha elde etmiş oluruz [ ve böylece "Bye Bye Newtoncu sabit Büyük G" diyerek, Newtoncu sabitin evrensel olmadığı bir dünyada yaşadığımızı kendimize ispatlamış oluruz; evrensel olsaydı bu deneyde bir payı olurdu, elenip gitmezdi. ]

\begin{align*} g = \text{G} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \frac{r^3 D}{r^2} = \frac{2}{3} \cdot \text{G} \cdot \text{D} \cdot \text{C} \end{align*}

20. Bu denklemde, \(r\), dünyanın yarıçapını; C, dünyanın çevresini; ve D, dünyanın yoğunluğunu ifade ediyorlar.
21. Bir saniye sarkacının kolunun uzunluğu \(L = g / \pi^2\) olduğuna göre, \(g / \pi^2\)'ı L ile değiştirebiliriz –faydalı bir kısaltma– ve son iki denklemdeki G'leri elimine ederek, aşağıdaki denklemi elde etmiş oluruz:

\begin{align*} \text{D} = \frac{3}{4} \times \frac{\text{L}}{\text{C}} \times \frac{M \cdot m \cdot a}{d^2} \times \frac{N^2}{\text{I} \cdot \theta} \end{align*}

22. Sağ taraftaki bütün terimleri biliniyor veya ölçülebilir.
23. [ Bu denklem de orantı olarak yazıldığında,

\begin{align*} \text{D} :: \frac{N^2}{\theta} \end{align*}

diyor. Cavendish de, yoğunluğu bulduğu ilişkiyi bu şekilde bir oranla yazıyor; yani dünyanın yoğunluğu sadece sarkacın dönemine ve kolun açısına bağlıymış. Peki bu denklemdeki \(M, m\) ne işe yarıyor? Neden varlar? ]