Şimdi, 10. Yardımcı Önerme ve 4. Doğal Sonuç'tan

Ve öyleyse, güçler, hareketin en başında geçilen mesafelerle düz orantılı, ve zamanın karesine ters orantılıdır.

[ Yani, Güç \(\propto R/T^2\) mı diyor? Yani, Kepler Kuralı'nın 2. parçası. ]

[ Yardımcı Önerme 10'un, 4. Doğal Sonucu, 102. sayfada incelenmiş. ]

(s.371)

Bu orantı, sonuncu oranlar (ultimate ratios) için türetilmiştir. Sadece gücün değişmediği zamanlar ve mesafeler için, yani kısa zamanlar ve kısa mesafeler için geçerlidir.

Birinci bölümde düşüş mesafesini I.4'ün Doğal Sonucunu kullanarak ve sabit güç varsayarak hesapladık, bu açıdan gücün değişeceğinden endişe etmemize gerek yoktu. Fakat, hayalî bir deney yaptığımız için, sabit bir güç varsayımının burada geçerli olup olmadığını incelemekte fayda var.

Düşüş esnasında, güç sabit kalıyor mu kalmıyor mu sorusunu cevaplamak için deneyimlerimize başvuralım. Dünyanın yüzeyinde, yerçekimi ivmesi, 15 feet gibi mesafelerde ölçülebilir şekilde değişmiyor.

[ Nasıl ölçüyorsunuz bu gücü?]

Dünyanın 60 yarıçapı uzaklıkta, aynı mesafede, orantılı olarak, \(15 \times 60\) veya 900 feet olacaktır.

[ Doğru mu bu varsayım? ]

Eğer bir ters kare yasası ile çalışıyorsak, dünya yüzeyinde 15 foot'luk mesafede yerçekimi gücü ne kadar değişiyorsa, 60 dünya çapı mesafede 900 foot'luk bir düşüşte, yerçekimsel güç sadece \(1/60^2\) olarak değişecektir.

Öyleyse, bu orantıyı kullanma şartları ayın uzaklığında, dünyanın yüzeyinde olduğundan daha da geçerli olmuş oluyor.

[ Olmayan bir güç değişiyor mu değişmiyor mu diye hesaplar yapıyoruz! ]

(s.372)

\(10\). Yardımcı Önermenin, 4. Doğal Sonucundan,

\begin{align*} F \propto \frac{d}{t^2} \end{align*}

Fakat, aynı zamanda, III.3'ten biliyoruz ki,

\begin{align*} f \propto \frac{1}{r^2} \end{align*}

[ \(d\) ne? \(r\) ne? Sanki Kepler'i yazıyor burada! ]

[ Newton, Kepler Kuralı'nı parçalara ayırıp kitabına serpiştirmiş! Burada \(F\) de \(f\) de Kepler orantısının birer parçası için yer tutan etiketlerden başka bir şey değil. Yani burada "\(\propto\)" işareti doğru kullanılmamış çünkü "\(\propto\)" mesela, \(AB \propto AD\) şeklinde yazılır ve "AB, AD gibi değişiyor", veya "AB, AD'ye orantılıdır" diye okunur. "\(\propto\)" işareti her zaman tam bir orantı için yazılmış bir kısaltmadır. "\(\propto\)" işaretini gördüğümüz zaman en az dört terim, yani en az iki orandan bahsediyoruz demektir (Bu bilgiler 6.5'inci bölümden alınmıştır.) Ama burada \(F, \propto \frac{d}{t^2}\) teriminde, \(F\) \(\frac{d}{t^2}\) gibi değişmemektedir, çünkü \(F\) diye değişen bir değer yoktur, \(F\) sadece \(\frac{1}{r^2}\) terimi için yer tutmaktadır. Ekmek kuyruğunda başkası için sıra bekleyen birisi gibi, sıranın asıl sahibi yani, \(\frac{1}{r^2}\) gelince \(F\) sıradan çıkıp gidecektir. Ve öyle de oluyor, \(F\) etiketini, değişen, gerçek bir değer ile değiştiriyorlar. Peki madem eleyeceklerdi \(F\)'yi neden yazdılar? Newton'un kutsal otoritesine ibadet etmek için! Burada yapılan, Newton'un parçalara ayırıp kitabına dağıttığı Kepler Kuralı'nın parçalarını Newton'un dağıttığı yerlerden toplayıp bir araya getirme operasyonudur.

Öyleyse, [güç terimlerini eşitleyip elersek],

\begin{align} \frac{d}{t^2} \propto \frac{1}{r^2} \end{align}

ve

\begin{align*} d \propto \frac{t^2}{r^2} \end{align*}

[ Tamam işte, Force (Güç) terimlerini eleyip, Kepler Kuralı'nı buluyor. ]

İlgili sembolleri tanımlayalım:

\(d_m\) = ayın yörüngesi yüksekliğinde düşülen mesafe (\(60r\))

\(d_e\) = dünyanın yüzeyi yüksekliğinde düşülen mesafe (\(1r\))

\(t_m\) = ayın yörünge yüksekliğinde düşüş zamanı

\(t_e\) = dünya yüzeyinde düşüş zamanı

[ Burada "düşüş" kelimesini "yörünge" diye okuyabiliriz. "Düşüş zamanı" değil, "yörüngenin dönemi".]

Denklem (1)'i orantı olarak yazarsak,

\begin{align*} \frac{d_m}{d_e} = \frac{t_m^2}{r_m^2} \; \frac{r_e^2}{t_e^2} \end{align*}

Newton, ayın yörünge yüksekliğinde dakika kullanıp, dünya yüzeyinde saniyeye çevirdiği için, biz de burada zamanı 60 ile çarpmamız gerekiyor,

\(t_m = 60 \times t_e\)

Ve, ayın yörünge yarıçapından dünyanın yarıçapına gelmek için, yarıçapı 60'la çarpmamız gerekiyor.

\(r_m = 60 \times r_e\)

Denklem (2)'ye ekleyerek,

\begin{align*} \frac{d_m}{d_e} = \frac{(60t_e)^2}{(60r_e)^2}\frac{r_e^2}{t_e^2} \end{align*}

\begin{align*} \frac{d_m}{d_e} = \frac{(60)^2 (t_e)^2}{(60)^2 (r_e)^2} \; \frac{r_e^2}{t_e^2} \end{align*}

Bu orantının ikinci oranı eşitlerin oranı olduğuna göre, birincisinin de eşitlerin oranı olması gerekir,

\(d_m = d_e\)

Ay, dünyanın yüzeyinde, bir saniyede 15 Paris feet, 1 inch, 1\(\frac{4}{9}\) lines düştüğü gibi, ayın yörüngesinin mesafesinde bir dakikada 15 Paris feet, 1 inch, 1\(\frac{4}{9}\) lines düşüyor olacaktır.

Eğer ayı yörüngesinde tutan aynı ivmelendirici merkezcil güç; ay, dünya yüzeyine çok yakın hayalî bir yörüngeye getirildiğinde de etkiliyse eğer, bu [ aynı zamanda, aynı mesafe düşmesi ] kaçınılmaz bir sonuç olurdu.

[ Ama aynı zamanda aynı mesafe düşmüyorlar. 1 dakika 60 saniye ve ayın yörüngesinin yarıçapı 60 dünya yarıçapı olduğu için kafa karışıklığı oluyor. ]

[ İyi de, böyle bir güç yok. Masal anlatıyorlar. Önce yazdılar sonra elediler güç terimlerini, demek ki yörüngeler güç ile yerinde tutulmuyorlarmış. ]