Steffen Ducheyne, taslak ve tercüme
Steffen Ducheyne bu makaleyi 2011'de yazmış, Cavendish'in analizini aslına uygun olarak, orantılarla inceliyor.
Cavendish'in matematiği unutulmuş, ama bir de Cavendish, okuyucusunun bildiğini varsaydığı bir çok şeyi hiç açıklamadan geçmiş, bu da Cavendish'in ne yaptığını anlamamızı zorlaştırıyor.
Artık orantılarla çalışılmıyor, fiziğin düzmece denklemleri ön plana çıkmış.
Modern denklemlerde kullanılan, \(F\) ile ifade edilen "Newtoncu çekim gücü" sadece bir etiket mi yoksa bir oran olarak yazılabilir mi? Yani, eğer, bir denklem, \(F\;=\;G\;M\;m\;/\;r^2\) şeklinde yazılıyorsa, bu \(F\)'nin bir oran olması için bir de bölen değer olması gerekir, mesela, \(F\;/\;1 = G\;M\;m\;/\;r^2\) gibi. Eğer \(F\)'nin böleni yoksa, o zaman, \(F\) büyük ihtimalle bir etikettir. Zaten, \(F\) bütün işlemlerde önce yazılıp sonra elendiğine göre, ve hiçbir yörünge hesabına girmediğine göre, zaten sayısal bir değer değil de bir etiket olduğunu biliyoruz.
Dünyanın hacmi yoğunluk ile ilgili olduğu bu hesaplara giriyor. Ducheyne şöyle yazmış, aynı sembollerle kopyalıyorum:
\begin{equation*} \rho(e) = \frac{m(e)}{V(e)} \end{equation*}Demek ki fizikçiler dünyanın yoğunluğunu tekdüze, bir su küresi gibi mesela, olduğunu kabul ediyorlar ve dünyanın hacminden yoğunluğunu bulabileceklerini düşünüyorlar. Ama dünyanın yoğunluğu bir devamlılıktır ve Kepler Kuralına göre değişir.
Burada bir de "kütle" dedikleri bir değer var, ama Cavendish kütle kavramını yani Newton'un "birim madde miktarı" kavramını kullanmıyor, Cavendish, ağırlık kavramını kullanıyor ve bu da yeterli oluyor. Fizikte kütle ile ağırlık arasında ki ilişki, yani kütle diye varsa, aralarında varolan ilişki çok tartışmalıdır ve fizikçiler Newton'un otoritesini korumak için bir sürü saçmalık tanımlamaktan çekinmemişlerdir. Bu konuya girmek bile istemiyorum. Ağırlık şimdilik bize yeter.
Ayrıca, \(V(e)\), yani dünyanın hacmi hesaplanırken dünyanın yarıçapı kullanılıyor, yani dünyayı insanların yaşadığı su, toprak ve havanın kesiştiği yoğunluk düzlemi olarak tanımlamış oluyorlar. Ama dünya bu değil ki! Atmosfer de dünyaya dahil, atmosferden sonra yoğunluk (Kepler kuralına göre) azalarak devam ediyor, bütün bu yoğunluk katmanları dünyaya dahil. Yani, fizikçiler ve herkes, aslında dünyayı insanların yaşadığı yoğunluk katmanında keserek insan merkezli düşünmüş oluyorlar. Bunun, insanı evrenin merkezine yerleştiren Kopernik öncesi sabit dünya modelinden bir farkı yok. İkisi de insanı evrenin merkezine koyan insan merkezli dünya modelleri. Demek ki insanlar hâlâ bilim öncesi, insan merkezli düşünce tarzı ile düşünmeye devam ediyorlar ve dünyayı yaşadıkları yoğunluk katmanında kesip dünyayının geri kalan parçalarını kesip atıyorlar.
Newtoncular, Newtoncu çekim gücünün bütün evreni kapladığına inandıkları için, her işe \(F\) denklemlerini yazarak başlıyorlar:
\begin{equation*} F = \frac{G \,m(e) \,m'}{R(e)^2} \end{equation*}(Ducheyne'in sembolleri ile yazıyorum.)
Burada \(F\), Newtoncu çekim gücüdür. Bu "denklem" aslında bir orantı değildir, Newton'un müretlerinin 200 yıl boyunca geliştirdikleri Newtoncu masalı anlatmaktadır. Şimdi Cavendish deneyi öncelikli olduğu için bu "denklem" denen "etiket düzenlemesi"ni incelemeyi burada kesiyorum.
Bir cümle daha söyleyeyim. Bu \(F\)'ye, \(F_1\) desek, \(F_1\) ile hiçbir hesap yapılamaz, onun için fizikçiler mutlaka devreye \(F_2\)'yi sokarlar, \(F_2 = g\,m'\) gibi.
Burada \(m'\) yeryüzünde dünyanın Newtoncu yerçekimsel çekim gücü ile çektiği bir birim madde, \(g\) de yerçekimi ivmesi denen şey.
İlk olarak, fizikçiler, \(F\) etiketlireni yazıp Mekanik Peygamber'i Newton'a dualarını ettikten sonra, yani \(F\)'ler işlevini yitirdikten sonra, "\(F\) gücü \(m'\) objesini Neqtoncu güç ile çekiyor" dedikten sonra, \(F_1 = F_2\) diyerek \(F\) terimlerini bye bye derler:
\begin{equation*} \frac{G \;m(e) \;m'}{R(e)^2} = g\, m' \end{equation*}Böylece \(F\)'lerle birlikte Newtoncu güç tarafından çekilen obje \(m'\) da elendi, buharlaştı. Yani şimdi, bu denkleme göre, \(F\) ile temsil edilen ve bu denklemlerde olmayan ve dünyanın merkezinden çıkıp \(m'\) maddesine ulaşıp onu çeken güç, ne yapıyor, \(m'\) elendi, olmayan bir güç, olmayan bir maddeyi Newton'un otoritesi kutsal olduğu için çekmeye devam ediyor. Bu Newtoncu masallara inananları kendi hallerine bırakıp biz Cavendish deneyi ile devam edelim.
Neyse, şimdi elimizde, Newtoncu denklem
\begin{equation*} F = \frac{G \;m(e) \;m'}{R(e)^2} = g\, m' \end{equation*}var, bunu yoğunluğun tanımı ile birleştirince,
\begin{equation*} \rho(e) = \frac{g\cdot R(e)^2}{G\cdot V(e)} \end{equation*}ifadesini elde ediyoruz.
Dünyanın hacmi \(V(e) = 4/3 \pi R(e)^3\) olduğuna göre, son olarak,
\begin{equation*} \rho(e) = \frac{g\cdot R(e)^2}{G\cdot 4/3 \cdot \pi\cdot R(e)^3} = \frac{g}{G\cdot 4/3 \cdot \pi\cdot R(e)} \end{equation*}ifadesini elde ediyoruz. Bu da dünyanın yoğunluğu olumuş oluyor.
Ne var burada?
\(g\) = dünya yüzeyinde serbest düşüş ivmesi
\(G\) = fizikte Newton'un Alice'in harikalar diyarı için tanımladı \(F\) denklemleri bu dünyada işlesinler ve birimleri ve boyutları uysun diye icad edilmiş birim ve boyut düzenleyici çakma doğa sabiti.
\(\pi\) = Bu işte dairesel bir şeyler olduğunun işareti
\(R(e)\) = dünyanın yarıçapı, Newtoncuların markalaştıramadığı tek değer bu olmalı.
Neden bu ifade dünyanın yoğunluğunu versin ki?
\(* * *\)
Nihayet Cavendish'in analizine geldik.
Bölüm 2.3: Dünyanın ortalama yoğunluğunu orantılarla hesaplamak
İngilizcesi: "Deriving the Mean Density of the Earth by Proportional Reasoning"
"Derive" kelimesini dikkatsizce kullanıyorlar bence. Burada "orantı mantığını" kullanarak dünyanın ortalama değerini hesaplıyor. Bir şeyden bir şey türettiği yok. Zaten "derive" işlemi fizikte çok problemli bir kavram. Bazı cebir işlemleri yaparak sembollerin yerlerini değiştirmek "derive" yapmak olmuyor.
Orantı mantığından başka mantık zaten yok. Bu konuyu da ayrıca incelemek gerekiyor.
Orantılar artık fizikte kullanılmıyor çünkü fizik bir hukuk sistemine dönüştürülmüştür. Newton ve Cavendish zamanında fizik profesyonellerin sahibi olduğu bir alan değildi. Bugün fiziğin alanına giren konular o zamanlar doğa felsefesi olarak inceleniyordu ve doğa felsefesini yapanlar çoğunlukla Cavendish gibi amatör insanlardı. Newton'dan sonra doğa felsefesi ile uğraşan akademikler mesleklerine daha profesyonel bir anlam yüklemek için kendilerine fizikçi demeye başladılar. Fizik profesyonel bir meslek oldu ve binlerce insan fiziğin hukuğunu tanımlamaya başladılar yani fiziği kendi içinde tutarlı bir birimler sistemi yaptılar. Newton'un güç kavramı da doğada olmadığı halde fizik hukuğunun temeline yerleşti. İnsanlar barter'dan para sistemine geçtiler çünkü birbirleri ile aynı cinsten olmayan şeylerin alıp vermek için bütün birimlerin ve cinslerin üstünde olan ve herkesin kabul ettiği bir birim olması gerekir. Buna da insanlar para dediler. Para evrensel birim olduğu için birbirleri hiç ilgisi olmayan şeylerin oranını alabilrsiniz, elma ile armutları birbirleri ile mukayese edemezsiniz ama elmayı da armudu da para ile mukayese edebilirsiniz. Aşk gibi cisimsel olmayan şeyler bile paraya çevrilebilir. Orantılarda birim yoktur. Orantılarla çalışmanın zorluğu buradan gelir. Orantılar ile çalışırken birimi kendiniz seçersiniz. Birim demek, sabit tutulan ve bilinmeyenlerin ölçlüdüğü değer demektir. Mesela, Kepler Kuralı ile yörüngeleri hesaplarken, Newton kilometre diye bir birim kullanmadı, dünya ile Venus arasındaki mesafe iyi bilindiği için bu mesafeyi birim olarak alıp diğer mesafeleri ona göre ölçtü. Fizikte de güç paranın toplumda gördüğü işlevi görür. Fizikte herşey güç olarak tanımlanıbilir çünkü güç birbirleri ile aynı cinsten olmayan şeylerle işlem yapmanızı sağlar. Orantılarda elmalarla armutları karıştıramazsınız fizikte karıştırabilirsiniz. Bu sebepten fizik denklemleri topal orantılardır. Orantı doğanın temel işlemidir. Değişen herşey ancak orantı olarak ifade edilebilir. Ama fizikçiler orantıları parçalara bölüp her parçaya bir etiket yapıştırırlar ve o etiketle işlem yaparlar. Sonra etikete de bir etiket yapıştırırlar bu etiketleme işi istedikleri kadar devam eder. Sonra, bir yerde dururlar ve etiketleri ayıklama işi başlar. İşte bu etiketleri ayıklama işine de fizikçiler "derivation" derler. Yeni bir şey bulmazlar, sadece artık ritüel olmuş cebir işlemleri ile etiketleri elerler. Fizikte en çok elenen terim \(F\) terimleridir. Fizikçiler \(F\) denklemlerini yazıp peygamberleri Newtona dua ettikten sonra bütün \(F\)'leri ayıklayıp asıl işlemleri geçer. Fakat, bu arada bir de mucize olur, bu \(F\) harfi Newton'un ruhu olduğu için öyle denklemlerden silinmekle yokolmaz, hep orada vardır, çünkü \(F\) Newton'un ruhudur ve bütün evreni kaplamıştar. Fizikçiler içinde bir tane bile \(F\) terimi olmayan denklemlerle işlem yaparlar ama yine de sanki \(F\) terimleri varmış gibi işlem yaptıklarını söylerler.
Neyse, fizikçilerin ne yaptığından bize ne. Fizik bir üst seviye bir bilgisayar dili olarak da düşünülebilir, bu benzetmede orantılar ise "donanım dili" (assembly language) olmuş oluyor. Yani doğanın anladığı dil fizik denklemi değil, orantılardır. Orantılar doğanın temel dilidir. Fizik kendi içindi tutarlı bir birimler sistemidir. Doğada birim yoktur, sabit de yoktur, tek sabitler değişen şeylerdir, yani bir şey değişirken sabit kalan şeye orantı diyoruz zaten, oranların eşitliğine orantı denir, oranlar değişir orantı sabit kalır. Doğa böyle işler. Fizikte, denklemin bir tarafı bir fizikçinin uydurduğu bir etikettir ve değişmez öteki tarafı birimlerle süslenmiş bir ideolojik bir şeydir….
Yani bütün fizik denklemleri, bütün fizik etiketleri kaldırıldığında ve fizikçilerin ayırdığı, kopardığı, oranlar birleştirildiğinde, mutlaka bir orantı şeklini alacaktır. Bütün bunları yapmak yerine direk olarak orantılarla çalşmak çok daha iyidir bence.
Evet, Ducheyne'e geri dönelim.
Cavendish, dünyanın ortalam yoğunluğu ile sarkacın dönemini ilişkilendiren bir matematik ifadesi buluyor.
\(* * *\)
Cavendish deneyini üç adımda analiz ediyor.
\(1\). Adım
Sarkaç kolunu bir ölçek derecesi oynatmak için uygulanması gereken gücü; dünyanın yerçekimi gücünün her topa uyguladığı güç ile oranlayıp bunu sarkacın salınım dönemi ile ifade etmek.
\(2\). Adım
Sarkaca asılı olan topu çeken büyük kurşun güllenin çekim gücünü, aynı topu çeken dünyanın çekim gücüne oranlamak ve bu oranı dünyanın ortalama yoğunluğunun suyun yoğunluğuna oranlayarak ifade etmek.
\(3\). Adım
\(2\). ve 3. Adamları birleştirmek.
Cavendish önce sarkaç kolunu döndürmek için gereken gücü belirledi. Bu güç sarkacın salınım dönemi ile belirleniyordu. Burulmalı yatay sarkacın hareketini, basiz (dikey) sarkacın hareketi ile mukayese etti.
Yatay ve dikey sarkaç araındaki kuramsal benzerliklerden yararlanarak, Cavendish, dikey sarkaç için geçerli olan bazı oranları, deneyde kullandığı yatay sarkaca da uyguladı.
Yatay sarkaca asılı olan iki topun (\(x\) ve \(W\)) arasındaki mesafe 73.3 inch olduğu için her topun hareket merkezinden uzaklığı 36.65 inch oluyordu.
Ve deneyin yapıldığı bölgede salınan bir saniye sarkacının kolunun uzunluğu 39.14 inch'ti.
[ Saniye sarkacı, tam dönemi, (yani kolun başladığı tarafa dönüşü, 2 saniye olan bir sarkaç. Sarkacın kolunun ucuna asılı olan ağırlığın döneme bir etkisi olmadığı için, bu ağırlığın önemi yoktur, belirleyici değer kolun uzunluğudur. Ama değişik rakımlarda bu saniye sarkacı uzunluğu değişeceği için, Cavendish, saniye sarkacının uzunluğunu verirken, "bu bölgede" diye açıklık getiriyor. ]
Cavendish'ten direk alıntı. Ben buraları zaten tercüme etmiştim.
- öyleyse, kolun asıldığı telin sertliği öyle olsun ki;
- topu A açısı kadar hareket ettirebilmek için, her topa uygulanması gereken güç ile topun ağırlığının oranı;
- A açısının yayının'nın, kolun yarıçapına oranı kadar olsun; veya
- böyle bir sarkacın kolu, uzunluğu 36.65 inches ( 92.33 cm ) olan bir sarkaç gibi sallanacaktır yani dönemi
olacaktır.
- ve bundan dolayı, eğer telin sertliği kolu \(N\) saniyede salınım yaptırabilecek kadar olursa,
- topu \(A\) açısı kadar oynatmak için uygulanacak gücün topun ağırlığına oranı,
- \(\left ( A\text{'nın yayı} \times \frac{1}{N^2}\times \frac{36.65}{39.14} \right )\) ifadesinin kolun yarıçapına oranı ile aynıdır, yani
Cavendish telin sertliğinden bahsediyor ama telin sertliğini hesaplamıyor çünkü gerek yok. Bazı modern analizler, telin sertliğini mühendislik terimleri ile hesaplıyorlar, sarkacın eylemsizlik momentini falan buluyorlar, ama bunlar gereksiz çünkü Cavendish sadece kolun döndüğü açıya bakıyor.
« … kolu \(A\) açısı kadar çevirmek için, har topa uygulanması gereken güç… »
Burada Cavendish geri döndürücü güçten (restoring force) yani telin burulmasından doğan güçten bahsediyor ama "her topa uygulanması gereken güç" dediği içn, sanki kurşun ağırlığın topu Newtoncu güç ile çekerken toplara uyguladığı güçten bahsediyor gibi bir anlam çıkıyor. Bir karışıklık var burada. Neyse burada Cavendish,
\begin{equation*} \frac{\text{kolu A açısı kadar çeviren güç}}{\text{topun ağırlığı}} = \frac{\text{A'nın yayı}}{\text{yarıçap}} \end{equation*}bu orantıyı kuruyor.
Ama bu doğru mu? Yatay sarkaçta topun ağırlığı önemli değil ki? Yatay sarkacın özelliği yerçekimini elemesi yani toplara ağırlıksız olarak bakabiliriz. Topun ağırlığı ne olursa olsun aynı güç sarkacın kolunu lareket ettirecektir. Yanılıyor muyum?
Sonra Cavendish, bu sarkacı dikey bir sarkaca bağlıyor.
Kolun uzunluğu ile dönem arasında bir ilişki var, onu kullanıyorlar.
\begin{equation*} \frac{l}{L} :: \frac{t^2}{T^2} \end{equation*}veya
\begin{equation*} \sqrt{\frac{l}{L}} :: \frac{t}{T} \end{equation*} \begin{equation*} \frac{l}{L} :: \frac{t^2}{T^2} \end{equation*}veya
\begin{equation*} \sqrt{\frac{l}{L}} :: \frac{t}{T} = \sqrt{\frac{36.65}{39.14}} \end{equation*}« Restoring force » gibi kavramlara gerek var mı? Bunlar eleniyor anladığım kadar. Elenecek şeyleri yazmaya gerek yoktur.
Cavendish kolu \(A\) derece döndürecek gücü hesaplamay çalışıyor. Bunun için de saniye sarkacını zaman birimi (veya boyut birimi) olarak kullanıyor.
Ama işin içine "güç" diye bir şey girmesi kafaları karıştırıyor.
Önce
\begin{equation*} \frac{\text{kolu A açısı kadar çeviren güç}}{\text{topun ağırlığı}} = \frac{\text{A'nın yayı}}{\text{yarıçap}} \end{equation*}dedi.
Güçle dönemi eşanlamlı olarak mı kullanıyor acaba?
Tamam, diyelim, yatay sarkacın dönemini buldu, \(\sqrt{36.65/39.14}\) saniye.
Fakat, Cavendish, \(F\) :: Dönem diye varsayıyor anladığım kadar.
Açıklamalarla devam edelim. Ducheyne, Cavendish'in ne demek istediği hakkında açıklamalar yapıyor.
Cavendish'in demek istediği:
Sarkaç kolunu hareket ettirmek için toplara uygulanan güç \(F_e\), geri döndürücü güç \(F_r\), oranı, \(T^2\; /\; N^2\).
\begin{equation*} \frac{F_e}{F_r} = \frac{T^2}{N^2} \end{equation*}\(N\) gözlemlenen dönem olmalı.
Çünkü, geri döndürücü güç, ayrıca, topun ağırlığı \(W_b\) ile \(A\)'nın yayının çarpımına orantılı olduğu için
\begin{align*} \frac{F_e}{W_b} &:: \text{A'nın yayı} \times \frac{T^2}{N^2}\\ \\ &= \text{A'nın yayı} \times \frac{36.65}{39.14} \times \frac{1}{N^2} \end{align*}Ama güç sarkaca asılı topun ağırlığına orantılı değil.
Zaten bu güç terimleri elenecek.
\begin{align*} \frac{F_e}{W_b} &:: \frac{\text{A'nın yayı} \times F_R}{\textbf{? ?}} \end{align*}olmalı. Topal ornatı görmek istemiyorum.