Modern analizle Cavendish'in analizi arasında önemli farklar var.

1. Cavendish yarım sarkaç kolunu kullanıyor
2. Cavendish denklem veya birim kullanmıyor, (inch ve feet gibi birimler kullansa da bunlar hep oranlandığı için birimsiz katsayılarla çalışmış oluyor, mesela, l = 36.63 inch ve L = 39.14 inch ve

\begin{equation*} \frac{l}{L} = \frac{36.65}{39.14} = \frac{t^2}{T^2} \end{equation*}

inch birimleri elenmiş oluyor.

3. Cavendish "torque" kavramını yani kaldıraç yasasını kullanmıyor, sadece değişik sabitleri olan sarkaçlar arasındaki ilişkileri kullanıyor.
4. Cavendish Moment of Inertia \(I\) ve telin bükülme sabiti \(k\) gibi terimleri de kullanmıyor.
5. Cavendish sarkacın dönemini hesaplarken kronometre mi kullanıyor yoksa bir saniye sarkacı mı kullanıyor bilmiyorum. Kronometreler 18. yüzyılda yeni geliştiriliyorlardı.

Benzerlikler de var.

1. Hem Cavendish hem de modern analiz \(F(R) = F(N)\) dengesini kuruyor, yani telin bilinen bükülme gücü F(R)'yi bilinmeyen Newtoncu güç F(N)'yi eşitliyor.
2. Bu eşitleme sorunlu çünkü bu iki ayrı cins gücün dengede durmaları olanaksız.

Modern analize

\begin{equation*} k \theta = LF \end{equation*}

diye torque dengesini yazarak başlayabiliriz. Sol tarafta telin geri döndürücü gücün torque hali, sağ taraf da Newtoncu gücün torque hali.

\(LF\)'nin açılımı kolay çünkü

\begin{equation*} F = \frac{GMm}{r^2} \end{equation*}

Burada, \(G\)'yi bu denkleme tanrının koyduğunu farzedebiliriz, Newtoncu tanrıların. Bu bağlamda, \(G\)'nin değerini bilmiyoruz, bulmaya çalıştığımız bilinmeyen \(G\).

İki orantımız var

\begin{equation*} F(N) \propto \text{AĞIRLIK (VEYA KÜTLE)} \end{equation*}

Bu orantıyı denklem yapmak için fizikçiler "orantı sabiti" dedikleri bir birim terimi eklerler (fizikçilerin bu uygulaması da sorunludur). Burada, orantı sabiti olarak \(G\)'yi ekliyorlar.

\begin{equation*} F(N) = G \text{AĞIRLIK} \end{equation*}

Bu varsayılan Newtoncu güç F(N) aynı zamanda çekim uyguladığı cisim ile arasındaki mesafenin ters karesi ile değişiyor,

\begin{equation*} F(N) \propto \frac{1}{(\text{ÇEKİM MESAFESİ})^2} \end{equation*}

Bu ikinci orantıyı herhalde \(K=1\) gibi görünmeyen bir sabitle denkleme dönüştürüyorlar ve iki denklemi birleştirip,

\begin{equation*} F(N) =\frac{GMm}{r^2} \end{equation*}

şeklinde yazıyorlar. Burada da iki kelime oyunu veya harfiyat veya harf cambazlığı var, aslında \(GM\), \(G\) ve \(M\)'den meydane gelem bir terim değil, tek bir terim, uygulamada tek bir terim, özellikle astronomide. Tabii, \(m\)'yi bu denkleme yazmak da fiziğin en büyük Newtoncu sahtekarlıklarından biri, çünkü bu denklemi yazanlar \(M\) ve \(m\) arasında bir çekim olmadığını biliyorlar çünkü \(m\) bir adım sonra elenecek.

Orantılarda birim yoktur. Orantı sabiti demek birim demektir. Ayrıca, ağırlıkla çekim mesafesini oranlamak da yanlış olabilir çünkü oranlama sadece aynı cinsten nicelikler arasında yapılabilir. Ağırlık ve mesafe aynı cinsten değilmiş gibi geliyor bana, ama Kepler Kuralında dönem ile mesafenin oranı da aynı cinsten olmayan iki niceliğin oranı değil mi?

Bu sebepten, fizik denklemlerinde, ayrı cinsten şeyleri mukayese edebilmek, oranlayabilmek için, bir birim dönüştürücüye ihtiyaç vardır, fizikçiler de bu birim dönüştürücüye \(G\) demişler.