1. Analizinin birinci bölümünde Cavendish önce sarkacın dönemini buluyor. Ama eline bir kronometre alıp kolun hareketini ölçmüyor, teorik olarak buluyor.
2. Telin sertliği sarkacın dönemini belirliyor.

Telin sertliği \(\equiv\) Telin geri döndürücü gücü \(\equiv\) Telin bükülme sabiti

3. Cavendish telin bükülme sabitini bulmak istiyor çünkü Newtoncu çekim gücünü bu sabite eşitleyerek Newtoncu gücün sayısal değerini belirlemiş olacak ve bu değeri kullanarak dünyanın yoğunluğunu bulacak.

\begin{equation*} D = \frac{1}{10,683}\;\frac{N^2}{1}\;\frac{1}{B} \end{equation*}

N = Sarkacın doğal dönemi, aynı tel için sabit kalıyor

4. Peki, dünyanın yoğunluğunun bir sarkacın doğal dönemine bağlı olması garip değil mi?
5. Ama daha garibi, Cavendish ilk 3 deneyinde yumuşak bir tel kullanıyor, bu telin dönemi aşağı yukarı 15 dakika, daha sonraki deneylerde dönemi 7 dakika olan daha sert bir tel kullanıyor, fakat dünyanın yoğunluğu 2. sert telle yapılan deneylerde yarı yarıya düşmüyor, aynı kalıyor.
6. Formül aynı formül,

\begin{equation*} D = \frac{N^2}{10,683\,B} \end{equation*}

Ama bu formüle göre, dönem \(N\) artınca dünyanın yoğunluğunun da artması gerekmiyor mu? Ama öyle olmuyor çünkü \(B\)'de aynı oranda artıyor,

\begin{equation} \frac{N^2}{B}= \text{SABİT} \end{equation}

B = kolun orta noktasının topları çeken ağırlıklara doğru hareketi

7. Cavendish'in ölçümlerinde bunu zaten görüyoruz, bir kaç örnek

B	N (s)
14.32	895
14.1
15.87
15.45	882
15.22	879
14.5	894
--	--
6.18	421
5.92	423
5.90	425
5.98	425

\begin{equation*} \frac{\text{N}}{\text{B}} = \frac{895}{14.1}\approx \frac{421}{6.18} \approx 65.50 \end{equation*}

8. Evet oran aynı kalıyor. Peki bu normal mi? Tel daha yumuşak olduğu için daha çok çekiyor ve hem uç noktalar değişiyor hem de orta noktanın hareketi artıyor.
9. Asıl sorun, mesafe azaldıkça mesafenin karesi ile artan Newtoncu güç ile kolun açısı ile düz artan telin gücü arasındaki ilişki. Newtoncu güç mesafenin karesine oranlı olduğu için düz olarak değişen telin gücünü bir kere yakaladı mı bırakmaz diye düşünüyorum. Bu ayrı konu.
10. O zaman, dünyanın yoğunluğu sarkacın doğal dönemi \(N\)'ye oranlı değil, zaten bu oran,

\begin{equation*} \frac{\text{telin geri döndürücü gücü}}{\text{kolu bir derece döndüren güç}} = \frac{N^2}{10,683\,D} \end{equation*}

olarak yazıldı.

\begin{equation*} \frac{F(R)}{F(1°)} = \frac{N^2}{D}\; \frac{1}{10,683} \end{equation*}

\(N\) ile \(D\) oranlı işte. \(N\) artınca \(D\)'nin de artması gerekmiyor mu? Telin geri döndürücü gücünün \(D\) ile veya \(B\) ile ne ilgisi var?

11. Zaten telin geri döndürücü gücü artınca \(N\)'nin azalması lazım, bu yanlış değil mi? Tel ne kadar sertse, \(N\) o kadar az, artan frekans. Neden bu böyle? Aslında \(N\) ve F(R) bilinenler. Burada bir gariplik yok mu?

\begin{equation*} \frac{F(N)}{F(1°)} = \frac{N^2}{10,683\,D} \end{equation*}

Bu şekilde yazarsak da doğru değil çünkü F(N) ile \(N\)'nin bir ilgisi yok.

12. O zaman,

\begin{equation*} \frac{F(N)}{F(1°)} \Rightarrow B\; \text{derece} \end{equation*}

13. Bu doğru olamaz,

\begin{equation*} \frac{F(R)}{F(1°)} = \frac{N^2}{10,683\,D} \end{equation*}

Doğrusu,

\begin{equation*} F(R) \propto \frac{1}{N^2} \end{equation*}

zaten Cavendish bu son ilişkiyi kullanıyor.

14. O zaman,

\begin{equation*} \frac{F(N)}{F(1°)} = \frac{N^2}{10,683\,D} \end{equation*}

yazarız.

\begin{equation*} \frac{N^2}{10,683\,B} = D \end{equation*}

Burada \(N\) sabit, değişen \(B\).

Aynı tel için \(N\) sabit. Ama teli değiştiriyorsunuz dönem \(N'\) oluyor fakat dünyanın yoğunluğu değişmiyor.

\begin{align*} \frac{N^2}{10,683\,B}\;\frac{10,683\,B}{N'^2} &= 5.5\\ \\ \frac{N^2}{N'^2}\;\frac{B'}{B} &= 5.5 \end{align*}

ki, gerçekten böyle oluyor. Sayıları koyunca doğru çıkıyor.

15. Yani Newtoncu böyle kolu akıllı olarak çekmesi çok ilginç. Peki, bu iki tel için F(N)'nin değerinin ayrı olması lazım.
16. Cavendish bu iki gücü eşitliyor,

F(N) = F(R)

fakat, bu doğruysa, tel değiştikçe, Newtoncu gücün değerinin de değişmesi gerekir,

F(R) = F(N)

F'(R) = F'(N)

F''(R) = F''(N)

F'''(R) = F'''(N)

Fakat, Newtoncu inanca göre, Newtoncu gücün F(N) eşit olduğu güç F(R) değiştiği halde kendisi değişmiyor. Bir Newtoncu mucize daha.

F(R) = F(N)

F'(R) = F(N)

F''(R) = F(N)

F'''(R) = F(N)

17. Cavendish'in dünyanın yoğunluğunu hesapladığı orantıyı

\begin{align*} \frac{F(R)}{F(1°)}= \frac{N^2}{10,683\,D} \end{align*}

yazamıyoruz, çünkü,

\begin{align*} F(R) \propto N^2 \Rightarrow False \end{align*}

Ve,

\begin{align*} \frac{F(N)}{F(1°)}= \frac{N^2}{10,683\,D} \end{align*}

yazamıyoruz, çünkü,

\begin{align*} F(N) \propto N^2 \Rightarrow False \end{align*}

çünkü Newtoncu güç F(N), sarkacın doğal dönemi \(N\) ile ilgili değil, sarkacın doğal dönemi \(N\), F(N)'den bağımsız.

18. O zaman, nedir bu?

\begin{align*} \frac{N^2}{D}\;\frac{1}{10,683} \end{align*}

Yani, dönem ile yoğunluk da ilişkili gibi görünüyor ama değil çünkü,

\begin{align*} \frac{N^2}{N'^2}\;\frac{B'}{B} = D \end{align*}

Yani, farklı teller ve dönemler için \(D\) aynı kalıyor.

F(R) = F(N) olduğuna göre,

\begin{align*} \frac{F(N)}{F'(N)}\;\frac{B'}{B} = D \end{align*}

olacaktır, yani, dedigimiz gibi, telin sertliği değiştikçe, telin sertliğine göre, F(N) de değişcektir.

19. Öyleyse, açıkça görülüyor ki, Cavendish deneyi, Newtoncu güç F(N)'nin değerini bulmuyor, F(N)'yi tanımlıyor. Cavendish, F(N)'ye sarkacın sabitlerinden çıkan bir sayısal değer vermiş oluyor.
20. Çünkü, Cavendish, ince telle de, daha sert telle de aynı \(D\)'yi bulabilmesi ancak Newtoncu gücün de telin geri döndürücü gücü ile aynı olmasını gerektirir.

(Devamı var. F(R) ve F(N)'nin ilişkisi)