Tanımlar:

Top = Sarkaç koluna asılı topların herbiri.

Ağırlık = Topları Newtoncu çekim gücü uygulayarak çeken ve kolu oynatan kurşun gülle

Topla ağırlığın merkezleri arasındaki mesafe = 8.85 inch

\(l\) = 36.65 inch = deney sarkacının kolunun uzunluğunun yarısı

\(L\) = 39.14 inch = saniye sarkacının kolunun uzunluğu

\(t\) = kolu \(l\) olan sarkacın dönemi

Kolun ucuna takılı cetvelin (ölçek) merkezden mesafesi = 38.3 inch

Herbir ölçek derecesi = 1/20 inch = 0.05 inch

Bir ölçek derecesinin merkezle yaptığı açı = 1/766 radyan

\(B\) = Newtoncu çekim gücü altında kolun orta noktasının döndüğü ölçek derecesi. Cavendish bu \(B\)'yi ölçüyor.

\(F(W)\) = Ağırlığın topu çekim gücü

\(F(E)\) = Dünyanın topu çekim gücü = topun ağırlığı = \(W_b\)

\(F(1°)\) = Ağırlığın topu bir derece oynatan gücü

\(F(R)\) = Telin geri döndürücü gücü

\(F'(R)\) = Herhangi bir tel sertliği için geri döndürücü güç

\(N\) = Sarkacın doğal dönemi. Cavendish bu \(N\)'yi ölçüyor

Geri döndürücü güçleri aynı olan sarkaçların hareket yasası:

\begin{equation} F(R) = W_b \frac{\text{yay}}{\text{yarıçap}} \end{equation}

Yerçekimi için bu,

\begin{equation} F(R) = m\,g\;\sin A \end{equation}

olarak yazılabilir, ama Cavendish \(m\) ve \(g\) sembollerini kullanmıyor.

Geri döndürücü güçleri aynı olmayan dikey sarkaçların arasındaki ilişki: \(\textit{geri döndürücü güç} \propto 1/\textit{dönem}^2\), yani, geri döndürücü güç dönemin ters karesine orantılıdır.

Aynı geri döndürücü güç altında salınan ama kollarının uzunluğu ayrı olan sarkaçların ilişkisi: \(\textit{sarkaç kolu} \propto \textit{dönem}^2\)

Ağırlığın ağırlığı = 10.64 \(\times\) çapı 1 foot olan su küresi

Yoğunluğun tanımı (tekdüze yoğunluk için) = [ (yoğunluk) = (ağırlık) / (hacim) ]

Ağırlığın yoğunluktan tanımı (tekdüze yoğunluğu olan cisimler için geçerli) = [ (ağırlık) = (hacim) \(\times\) (yoğunluk) ]

Cavendish deneyi bağlamında Newtoncu çekim gücü \(F\)'nin tanımı: \(F \propto \textit{ağırlık}\) ve \(F \propto 1/\textit{mesafe}^2\)

Dünyanın çapı = 41,800,000 feet

Dünyanın yarıçapı = (6 \(\times\) 41,800,000) inch

Dünyanın hacmi (küresel birim olarak) = (41,800,000)\(^3\)

D = dünyanın yoğunluğu = D/d

d = 1 = suyun yoğunluğu

Dünyanın topu çekimi:

\begin{equation} \frac{(41,800,000)^3\times D}{(6 \times 41,800,000)^2} \end{equation}

Ağırlığın ağırlığı = 10.64 \(\times\) d

Ağırlığın topu çekimi:

\begin{equation} \frac{(10.64\times d}{(8.85)^2} \end{equation}

Ağırlığın topu çekiminin dünyanın topu çekimine oranı:

\begin{align} \frac{F(W)}{F(E)} &= \frac{10.64\,d}{(8.85)^2}\;\frac{(6)^2}{41,800,000\,D}\\ &= 10.64\;\sqrt{\frac{6}{8.85}}\;\frac{1}{41,800,000}\;\frac{1}{D}\\ &= \frac{1}{8,739,000}\;\frac{1}{D} \end{align}

Yorum: dünyanın yoğunluğu \(D=d=1\) olsaydı, yani dünya tekdüze bir su küresi olsaydı, dünya topu kurşun ağırlığın çektiğinden 8 milyon 739 bin kere daha fazla çekiyor olurdu.

Analize devam ediyoruz.

Şimde sarkaç kolunu döndürmek uçin gerekli gücü bulalım.

Sarkaç telinin sertliğini bilmiyoruz. Sarkacın doğal dönemini belirleyen telin sertliği.

İlk önce, yatay deney sarkacının kolu 36.65 inch olan ve yerçekimi altında sallanan bir dikey sarkaç gibi salındığını varsayıyoruz. Bu şartlar altında, sarkacın dönemi

\begin{equation} t = \sqrt{\frac{36.65}{39.14}} \;\text{saniye} \end{equation}

oluyor.

Herhangi bir tel sertliği \(F'(R)\) için,

\begin{equation} \frac{F'(R)}{F(R)} = \frac{t^2}{N^2} \end{equation}

ve

\begin{equation} \frac{(F'(R)}{F(E)} = \frac{\text{yay}}{\text{yarıçap}}\;\frac{36.65}{39.14}\;\frac{1}{N^2} \end{equation}

ve (yay / yarıçap = 1/766) için

\begin{equation} \frac{(F(1°)}{F(E)} = \frac{1}{818\,N^2} \end{equation}

ve

\begin{align} \frac{(F(1°)}{F(E)} = \frac{F(W)}{F(E)} \Rightarrow \frac{1}{818\,N^2} = \frac{1}{8,739,000\,D} \end{align}

ve

\begin{align} B \; \textit{derece} = \frac{N^2}{10,683\,D} \end{align}

ve son olarak dünyanın yoğunluğu \(D\) için,

\begin{equation} D = \frac{N^2}{10,683\,B} \end{equation}