1. Yoğunluk tanımında, hacim birim olması lazım diye anlıyorum ben.

\begin{equation} \text{yoğunluk} = \frac{\text{ağırlık}}{\text{hacim}} \end{equation}

2. Yani, cismin birim hacim için ağırlığına yoğunluk diyoruz. Yani, mesela, suyu birim hacim olarak alıp tartıyoruz, mesela, 1 foot çapı olan bir su küresi, o zaman 1 foot çapı olan kurşun küresinin yoğunluğunu suyun yoğunluğunun katsayısı olarak biliyoruz. Hacimlar aynı olduğu zaman,

\begin{equation} \text{Kurşun yoğunluk} = \frac{\frac{\text{Kurşun ağırlığı}}{\text{Kurşun hacim}}}{\frac{\text{Suyun ağırlığı}}{\text{Su hacim}}} = \frac{\text{Kurşun ağırlığı}}{\text{Su ağırlığı}} \end{equation}

Yani, yoğunluk, birim hacim için ağırlık olarak tanımlanmış oluyor. Bu yoğunluk tanımı sadece yoğunluğu tekdüze olan cisimler için geçerli bir tanımdır, dünya gibi yoğunluğu yarıçapı ile değişen cisimler için geçerli olamaz. Öyleyse,

\begin{equation} \text{Dünyanın yoğunluğu} = \frac{\text{Dünyanın ağırlığı}}{\text{Suyun ağırlığı}} \end{equation}

doğru olamaz çünkü dünyanın yoğunluğu tekdüze değil.

3. Cavendish'in analizine geri dönüyoruz. (Ağırlık = hacim \(\times\) yoğunluk) ilişkisinden ağırlığın ve dünyanın ağırlıklarını yazıyoruz. Topun ağırlığını yazmaya gerek yok, çünkü Cavendish topu bir matematiksel noktaya indirgedi.
4. Sonra da ağırları ve mesafeleri

Newtoncu çekim gücü \(\propto\) \(\frac{1}{(\text{merkezden mesafe})^2}\)

ilişkisinde kullanacağız.

5. Burada mesafeler şöyle,

Ağırlıkla topun merkezleri arasındaki mesafe = 8.85 inch

Dünyanın merkezi ile topun arasındaki mesafe = (6 \(\times\) 41,800,000 inche)

6. Ağırlıklar da şöyle,

Dünyanın ağırlığı = (41,800,000)\(^3\) \(\times\) \(D\)

Yani dünyanın hacmi ile dünyanın yoğunluğu \(D\)'nin çarpımı. Aslında \(D\) sorunlu, çünkü, dünyanın yoğunluğu tekdüze değil.

7. Ağırlığın ağırlığı = 10.64 \(\times\) \(d\)

\(d\) = 1 = suyun yoğunluğu

Yani, ağırlığın ağırlığını, çapı 1 foot olan su küresini birim olarak alıp yazarsak, 10.64 oluyor. (Neden, burada kurşunun yoğunluğu ile çarpmıyoruz da, suyun yoğunluğu ile çarpıyoruz?)

8. Mesafelirin ters karesini ekleyince, çekim gücünü elde etmiş olacağız,

\begin{equation} \text{Ağırlığın çekim gücü} = \frac{10.64 \times d}{(8.85)^2} \end{equation} \begin{align} \text{Dünyanın çekim gücü} &= \frac{(41,800,000)^3 \times D}{(6 \times 41,800,000)^2}\\ \\ &= \frac{41,800,000 \times D}{(6)^2} \end{align}

ve,

\begin{equation} \frac{\text{Ağırlığın çekim gücü}}{\text{Dünyanın çekim gücü}} = 10.64 \times 0.9779 \times \frac{(6)^2}{(8.85)^2}\;\frac{1}{41,800,000}\;\frac{1}{D} \end{equation}

Cavendish'in 0.9779 katsayılı düzeltmesini ekleyip sadeleştirince,

\begin{equation} \frac{\text{F(Ağırlık-top)}}{\text{F(dünya-top)}} = \frac{1}{8,739,000\,D} \end{equation}

sonucunu elde ediyoruz.

9. Ağırlığın ağırlığı ile dünyanın ağırlığını oranlarsak,

\begin{equation} \frac{\text{Ağırlığın ağırlığı}}{\text{Dünyanın ağırlığı}} = \frac{10.64 \times d}{(41,800,000)^3\,D} \end{equation}

\(D\) = dünyanın yoğunluğu

\(d\) = 1 = suyun yoğunluğu

\begin{equation} \frac{\text{Ağırlığın ağırlığı}}{\text{Dünyanın ağırlığı}} = \frac{10.64}{(41,800,000)^3\,D} \end{equation}

Yani, dünya som kurşun olsaymış (\(D\) = 10.64),

\begin{equation} \frac{\text{Ağırlığın ağırlığı}}{\text{Dünyanın ağırlığı}} = \frac{1}{(41,800,000)^3\,\frac{10.64}{10.64}} \end{equation} \begin{equation} \frac{\text{Ağırlığın ağırlığı}}{\text{Dünyanın ağırlığı}} = \frac{1}{(41,800,000)^3} \end{equation}

o zaman, aynı mesafeden, dünya topu, ağırlığın çektiğinden $(41,800,000)³ kat fazla çekiyor olurmuş.

10. Neyse,

\begin{equation} \frac{\text{F(Ağırlık-top)}}{\text{F(dünya-top)}} = \frac{1}{8,739,000\,D} \end{equation}

ilişkisini bulduk. Şimdi bunu, sarkaç kolunu bir ölçek derecesi döndüren güce

\begin{equation} \frac{\text{F(Bir-derece)}}{\text{Topun ağırlığı}} = \frac{1}{818\,N^2} \end{equation}

böleceğiz,

\begin{equation} \frac{\text{F(ağırlık-top)}}{\text{F(dünya-top)}}\;\frac{\text{Topun ağırlığı}}{\text{F(bir-derece)}} = \frac{1}{8,739,000\,D}\;\frac{818\,N^2}{1} \end{equation}

Fakat,

F(Dünya-top) \(\equiv\) (Topun ağırlığı)

ve,

\begin{equation} \frac{\text{F(ağırlık-top)}}{\text{F(bir-derece)}} = \frac{N^2}{10,683\,D} = B \end{equation}

\(B\) = kolun döndüğü ölcek derecesi

\begin{equation} \frac{N^2}{10,683\,D} = B \end{equation}

Yani, ağırlığı topun merkezindeki bir birim maddeyi çekmek için harçadığı güç bölü bir derece döndürmek için gerekli güç yani kolun kaç derece döndüğü buna da \(B\) diyoruz.

Cavendish buradan \(D\)'yi alıyor ve \(B\) ve \(N\)'yi ölçüyor,

\begin{equation} D = \frac{N^2}{10,683\,B} \end{equation}

Burada F(ağırlık-top) \(\Rightarrow\) $N^2N oluyor, yani ağırlığın topu çekimi \(N^2\)'a oranlı,

F(ağırlık-top) \(\propto\) \(N^2\)

Fakat, Cavendish burada bir kelime oyunu yapıyor, \(N^2\) sarkacın doğal salınımı ve Newtoncu çekim gücü ile ilgisi yok.

Fakat, \(D \propto N^2\) ise, o zaman, dünyanın yoğunluğu sarkaç telinin sertliğine oranlı olmuş oluyor ki, evet öyle, çünkü Cavendish baştan beri Cavendish \(F_R=F_N\) diye gizli bir varsayım yaptı. Burada \(D \propto 1/B\) olarak gözüküyor.

\(B\) de sarkacın orta noktasının ağırlıklara doğru, ağırlıkların çekiminden dolayı kayması. Yani, varsayım şu ki, eğer ağırlıklar olmasa, sarkacın orta noktası sabit duracak, sağa sola oynamayacak ama ağırlıklar toplara yaklaştırılınca, sarkaç kolunun orta noktası ağırlıkları doğru \(B\) derece kayacak. Bu da, Newtoncu çekim gücünün ifadesi olarak yorumlanıyor.

Gerçi sarkacın orta noktasının sabit durduğu doğru değil, zaten bu sebepten Cavendish her deney için sarkacın sabit noktasını yeniden hesaplıyor.

Fakat, dünyanın yoğunluğunun \(B\)'ye bağlı olması garip değil mi?

11. Ayrıca, diyelim ki, bir deneyde orta noktası aynı kaldı, hiç oynamadı, $B$=0 olur ve dünyanın yoğunluğunu hesaplayamayız, sıfırla bölüm sonuçsuz kalır.